Sturzgefahr, Unfallgefahr in Mietwohnung, auf dem Grundstück

Besteht innerhalb der Wohnung, auf den Flächen im Haus oder auf dem Grundstück eine Sturzgefahr, dann ist dies ein Mangel.

Grundstück, Zugang zur Wohnung ohne Sturzgefahr, Unfallgefahr - Verkehrssicherungspflicht

Sowohl die Wohnung selbst als auch die Allgemeinflächen müssen so nutzbar sein, dass Mieter und deren Besucher nicht stürzen und sich verletzen können, der Vermieter hat die Verkehrssicherungspflicht: 
Verkehrssicherungspflicht des Eigentümers, des Vermieters. 

Mängel der Mietwohnung - Gefahr eines Unfalls für Mieter, Besucher

In der Wohnung kann eine solche Gefahr z.B. bestehen, wenn mitgemietete Fußbodenbeläge rissig sind, sich wellen, wenn beträchtliche Spalte oder Risse im Holzboden vorhanden sind. 

Es kann sich dann um einen Mangel handeln, den der Vermieter beseitigen muss, § 535 BGB.

Unfallgefahr, Sturzgefahr für Mieter und Besucher besteht im Haus, auf dem Grundstück

Auch der Zugang zur Wohnung ist mitvermietet. In Treppenhäusern gibt es Sturz- und Unfallgefahren, wenn Teppichboden nicht fest verlegt ist, sich wellt, wenn er Löcher hat oder wenn Stufen stark ausgetreten sind. 

Weitere Beispiele:

Auch Verschmutzungen und Lagerung von Material können dazu führen, dass das Treppenhaus und die Zugänge nicht gefahrlos begehbar sind.

Freiflächen wie der Weg zu Müllbehältern im Hof müssen im Winter so von Schnee und Eis befreit sein, dass man nicht ausrutschen und zu Fall kommen kann: 
Schnee und Eis - Räumpflicht und Streupflicht des Vermieters. 

Auch die Laubbeseitigung ist immer wieder ein Thema: 
Laubbeseitigung - Muss Vermieter oder Mieter Laub beseitigen?

Treppenhäuser, Kellerzugänge und sonstige Wege im Haus, die von Mietern benutzt werden, müssen auch ausreichend beleuchtet sein.

Gefährlichen Mangel wegen Unfallgefahr auf Grundstück sofort dem Vermieter melden

Wenn Sie eine solche Gefahr bemerken, weisen Sie sofort den Vermieter darauf hin - nicht nur den Hauswart! -, damit der Mangel schnell beseitigt wird, niemand zu Schaden kommt: 
Mängel mitteilen, Mietminderung und Ansprüche geltend machen. 

• In der Regel wird der Vermieter das erledigen, schon um Haftungsrisiken zu vermeiden. 

Geschieht das nicht, können Sie eine Mietminderung ankündigen, und sollten möglichst Druck machen, damit etwas geschieht: 
Mietminderung - Vermieter müssen Mängel mitgeteilt sein. 

Vermieter beseitigt nicht die bestehende Unfallgefahr auf dem Grundstück oder im Haus

Beseitigt der Vermieter nach Aufforderung eine Gefahrenlage nicht, so kann es sinnvoll sein, die Bauaufsicht mit der Angelegenheit zu befassen. Bei dringenden, akuten Gefahrenlagen kann sich dies ebenfalls empfehlen:

Bauaufsicht kann auch für Mietwohnungen zuständig sein. 

• In sehr akuten Gefahrenlagen (z.B. Fassadenstücke fallen herunter) kann es sich auch empfehlen, die Polizei (ggf. auch die Feuerwehr) zu rufen:
  Gefahr im Verzug - Mängel an Mietwohnung, Haus - Auftrag vom Mieter. 

Zivilrechtliche Klage - Antrag auf einstweilige Verfügung

Möglich ist auch eine zivilrechtliche Klage gegen den Vermieter. Allerdings kann die erst nach beträchtlicher Zeit eine Besserung bringen.

Besteht ein Gefahrenzustand, kann ein Antrag auf einstweilige Verfügung gestellt werden.
Der sollte dann einigermaßen zügig zu einer Entscheidung des Gerichts führen.